Vectores

Nos referimos a un vector a todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

•  Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
• Modulo: Es la longitud o el tamaño del vector. Para hallarla se necesita conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cual es el modulo del vector, debemos medir desde su origen hacia el extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que la contiene.
• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia que lado de la línea de acción se dirige el vector.

OPERACIONES CON VECTORES

Nosotros podemos realizar diferentes operaciones entre los vectores, entre los mas importantes son:

• Sumar:

Sean:

U = (-3,4)     W = (0,1)

U + W = (-3, 5)

• Multiplicación por un escalar:

K(5 ,6 ,7) = (K5 ,K6, K7)

En donde K = 2

2(5 ,6 ,7) = (10 ,12, 14)

• Combinación lineal:

2U - W; U = (4,2,8) ; W = (-2,7,4)

2(4,2,8) - (-2,7,4) = (8,4,16) - (-2,7,4)

2U - W = (10, -3, 12)

NORMA DE VECTOR

Nos referimos a la norma de un vector como la magnitud o modulo que tiene un vector.

Para hallar la norma basta con elevar al cuadrado los valores del vector, sumarlos y sacarles la raíz cuadrada, se representa con 2 líneas verticales a cada lado del vector:

U = (5, 6, 4)

|| U || = Raiz(5^2 + 6^2 + 4^2)

|| U || = Raiz(25 + 36 + 16)

|| U || = 8,77

PRODUCTO PUNTO

Cuando nos referimos a un producto punto nos referimos a un numero escalar que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Podemos hallar el producto punto con la siguiente formula:

PRODUCTO CRUZ

El producto cruz es otra operación importante en los vectores cuya formula nos dara otro vector, y si le sacamos la norma a ese vector podemos hallar el área que conforman los 2 vectores, como lo vemos en el siguiente ejemplo donde a = (2,3,4) y b = (3,1,2). Después de hacer el procedimiento y sacar la norma del vector resultante decimos que el área que conforman el vector a y b es de 10,81.

Propiedades del producto cruz

1. Anti conmutativa

u x v  = -v x u 

2. Distributiva

u x (v + w ) = u x v  + u x w ·

3. El producto vectorial u  x v es perpendicular a u  y a v .

4. El producto del vector por el mismo es igual a 0.

RECTAS Y PLANOS

Para esta ocasión nosotros podemos hallar la grafica de una recta por medio de la ecuación y=mx + b en donde m será la pendiente de la recta, y b el punto de corte donde corta la recta en el eje "y"

Nosotros podemos hallar la pendiente de la recta con 2 puntos de la recta con la ecuación:

m = y2-y1 / x2 - x1

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (5, 13)

m = 13-4/5-2
m= 9/3 = 3

En donde

y = mx + b

Nosotros podemos reemplazar "x" y "y" de cualquier punto para hallar el valor de B

7 = (3)(5) + b
7 - 15 = b
-8 = b

Por lo tanto la ecuación de la recta es

y = 3x - 8

Determinante

¿Que es un determinante?

En algebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada es un numero que se obtiene a partir de los elementos de la matriz, este se obtiene multiplicando los números de la matriz y sumando(restando) entre ellos.

Ejemplos:

Propiedades:

1) Los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales; es decir, det (A^T) = det(A).

2) Si la matriz B se obtiene intercambiando dos filas o intercambiando dos columnas de A entonces det (B) = - det(A).

3) Si dos filas (columnas) de A son iguales, entonces det(A) = 0.

4) Si una fila (columna) de A consta solo de ceros, entonces det(A) = 0.

5) Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila (columna) de A por un numero real C, entonces det(B) = C det(A).

6) Si B = [bij] de obtiene de A = [aij] sumando a cada elemento de r-esima fila(columna) de A una constate C por el elemento correspondiente de la s-esima fila (columna) r distinto de s de A, entonces det(B) = det(A)

7) Si una matriz A = [aij] es triangular superior(inferior), entonces det(A) = a11a22.....amn, es decir, el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

8) El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes, es decir, det (AB) = det(A)det(B)

Grafos

¿Que es un grafo?

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Son objeto de estudio de la teoría de grafos.

Tipos de grafos:

Existen dos tipos de grafos, los dirigidos y los no dirigidos:

• Dirigidos: Son aquellos en los cuales los lados están orientados(flechas). Cada lado se representa entre ángulos separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <vi,vj> = <vj,vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <a,b>, A, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y B, el cual es el vértice destino, se conoce como la cabeza del lado.Figura 3.
• No dirigidos: Son aquellos en los cuales los lados no están orientados(no son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (vi,vj) = (vj,vi). Figuras 1 y 2.

Ejemplos:

1) Dado el siguiente grafo obtener su matriz de adyacencia (No dirigida, grafo)

Al momento de crear la matriz debemos poner con uno los vértices que estén conectados y con 0 los vértices que no estén conectados.

2) Dada la siguiente matriz de adyacencia, dibuje el grafo que la represente (No dirigida, matriz)

Una vez que se tiene la matriz, de dibujan los 4 vértices(A,B,C,D) y se conectan los vértices de acuerdo a la matriz.

3) Dado el siguiente grafo, obtener su matriz de adyacencia (Dirigida, grafo)

En este caso como el grafo es dirigido, relacionamos los vértices desde la fila, es por eso que A con B da 1, pero B con A da 0.

Matriz

Nos referimos a una matriz a un conjunto de elementos definidos por unas filas y unas columnas, siendo las filas horizontales y las columnas verticales. Cuando hablamos de una matriz nos podemos referir por su tamaño, por ejemplo 2x2, es decir, la matriz esta compuesta por 2 filas y 2 columnas.

Ejemplo:

Aquí podemos ver una matriz 3x3, conformada por 3 filas y 3 columnas, si nos queremos referir a un elemento de la matriz buscamos su fila y su columna, por ejemplo, el numero 0 es el elemento a32, puesto que se encuentra en la fila 3 con la columna 2.

Una matriz nos sirve para manejar varios datos, relacionando unos con otros, por otra parte nosotros podemos hacer operaciones con las matrices como las siguientes:

Suma de matrices:

Para sumar 2 matrices A + B, se van a sumar horizontalmente de tal manera que cada elemento de cada matriz pueda sumarse si ocupan el mismo lugar, es decir, si están en la misma fila y columna.

Ejemplo:














Multiplicación por un escalar:

Esta operación la utilizamos cuando una constante K multiplica a una matriz, en ese caso, todos los elementos de la matriz se ven afectada por la constante.

Ejemplo:

Matriz transpuesta:

La operación matriz transpuesta nos dice que a la matriz la debemos invertir, es decir, que las filas se conviertan en columnas y que las columnas se conviertan en filas.

Ejemplo:

Multiplicación de matrices:

Es fácil pensar que se opera como la suma, pero en vez de sumar, hay que multiplicar. Lo correcto para realizar una multiplicación de matrices de verificas que la cantidad de columnas que tiene la matriz A sea la misma cantidad de filas que tenga la matriz B. Una vez se verifique que sea la misma cantidad, vamos a multiplicar cada fila de A por cada columna de B.

Ejemplo:

MATRICES DE BINARIAS

Nosotros podemos trabajar con los números en base 2 dentro de las matrices, es decir, los números conformado por el 1 y 0. Estos números fueron la base de la informática, y gracias a esta representación se crearon algoritmos que ayudaron a crear todo lo que tenemos ahora. Para trabajar con los números binarios hay que tener en cuenta estas 2 tablas

Ejemplo:

REDUCCION DE MATRICES POR GAUSS JORDAN

Para hallar los valores de las variables de una matriz podemos acudir a la reducción de matrices por Gauss Jordan, que consiste en formar una diagonal de unos y el resto de la matriz ceros, modificando la matriz original. Para ello nosotros podemos realizar diferentes operaciones como lo es la resta, división, intercambio de filas entre otras.

Operaciones:

• Intercambiar filas:

• Dividir fila:

• Sumar/Restar fila:

Después de realizar n operaciones entre la matriz lo que se busca es formar la diagonal de unos, el resto de ceros, y lo que nos de después de la línea serán los valores para este caso, de las variables x, y, z.

Ejemplos:

1)

2)

3)

MATRIZ INVERSA

Decimos que una matriz es inversa cuando el producto de la matriz por la matriz inversa da como resultado una matriz identidad(A * A^-1 = I).

Para hallar la matriz inversa de una matriz es necesario que el determinante de la matriz sea diferente de 0, una vez que se compruebe que sea diferente a 0 utilizamos la siguiente ecuación:

Ejemplo:

Cramer

Este método es utilizado sobretodo en los sistemas de ecuaciones lineales 3x3 (3 incógnitas, 3 ecuaciones), en donde se busca conocer en su defecto cual es el valor de x y z. Es necesario tener conceptos básicos de algebra.

Ejemplo:

x - y + z = 2
x + y + z = 4
2x + 2y -z = -4

a) Hallamos el determinante para todas las variables, dejando el numero que acompaña a cada variable, posterior a eso, se saca cada numero que esta en la primera fila y se multiplica no por su fila, no por su columna, se alterna las operaciones +,-,+,...Para operar el carme 2x2 se multiplica la diagonal principal menos la diagonal secundaria.

b) Una vez tengamos el determinante realizamos el mismo procedimiento para cada variable, cambiándole los valores que tengan en la variable por los valores de la igualación, a ese resultado lo dividimos por la determinante y nos daría el valor de cada variable.

Eliminación

El método de eliminación puede ser bastante efectivo, siempre y cuando se sepa manejar. Este método consiste en operar las 2 ecuaciones de tal manera que se pueda eliminar una de sus incógnitas y así poder despejar la variable que queda.

Ejemplo

2x + 4y = 6
8x - 10y = 12

a) Operamos

2x + 4y = 6        (-4)
8x - 10y = 12

-8x - 16y = -24
8x - 10y = 12
-26y = -12
y = -12/-26
y = 6/13 

b) Reemplazamos "y"

2x + 4y = 6
2x = -4(6/13) + 6
2x = -24/13 + 6
2x = 54/13
x = 54/26
x= 27/13 

Igualacion

El método de la igualación consiste en despejar en las 2 ecuaciones la misma variable, con el fin de que las 2 ecuaciones nos quede en términos de una sola incógnita y podamos averiguar su valor. Vamos a trabajar con el mismo sistema de ecuaciones para verificar los resultados con el anterior método.

Ejemplo:

2x + 4y = 6
8x - 10y = 12

a) Despejamos "y" en las 2 ecuaciones

2x + 4y = 6
4y = 6 - 2x
y = 3/2 - 1/2x

8x - 10y = 12
8x - 12 = 10y
4/5x - 6/5 = y

b) Igualamos "y"

y = y
3/2 - 1/2x = 4/5x - 6/5
3/2 + 6/5 = 4/5x + 1/2x
27/10 = 13/10x
x = 27/13

c) Reemplazamos "x"

y = 3/2 - 1/2x
y = 3/2 - 1/2(27/13)
y = 3/2 - 27/26
y = 24/52
y = 6/13

Sustitucion

El método de la sustitución nos plantea que una vez teniendo las 2 ecuaciones, debemos despejar una de las incógnitas en cualquier ecuación, generalmente se escoge la que este en el numerador, positiva y que no este acompañada por un numero. Una vez despejemos una variable, procedemos a reemplazar dicha variable en la otra ecuación, con el fin de tener solo una incógnita y poder hallar el valor de dicha incógnita.

Ejemplo:

2x + 4y = 6
8x - 10y = 12

a) Despejamos "x"

2x + 4y = 6
2x = -4y + 6
x = -2y + 3

b) Reemplazamos "x"

8x - 10y = 12
8(-2y + 3) - 10y = 12
-16y + 24 -10y = 12
24 - 12 = 26y
12 = 26y
12 / 26 = y
y = 6/13

c) Reemplazamos "y"

2x + 4y = 6
2x + 4(6/13) = 6
2x + 24/13 = 6
2x = 6 - 24/13
2x = 54/13
x = 54 / 26
x = 27 / 13
x = 27/13

Algebra Lineal

Sistemas de                                               

ecuaciones lineales:

Matrices:

Grafos:

Determinantes:

Vectores: